Có bao nhiêu giá trị của tham số thực $a$ để hàm số $y = \frac{\cos x + a\sin x + 1}{\cos x + 2}$ có giá trị lớn nhất bằng 1?

Lời giải Chọn C. Vì $-1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow \cos x + 2 \ge 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$. Ta biến đổi hàm số như sau: $$y = \frac{\cos x + a\sin x + 1}{\cos x + 2} \Leftrightarrow y\cos x + 2y = \cos x + a\sin x + 1$$ $$\Leftrightarrow a\sin x + (1 - y)\cos x = 2y - 1 \quad (1)$$ Điều kiện để phương trình $(1)$ có nghiệm (theo $x$) là: $$a^2 + (1 - y)^2 \ge (2y - 1)^2 \Leftrightarrow a^2 + 1 - 2y + y^2 \ge 4y^2 - 4y + 1$$ $$\Leftrightarrow 3y^2 - 2y - a^2 \le 0 \quad (2)$$ Giải bất phương trình $(2)$ theo biến $y$, ta thu được tập giá trị: $$\frac{1 - \sqrt{1 + 3a^2}}{3} \le y \le \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$$ Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là $y_{\max} = \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$. Theo giả thiết bài toán, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1: $$\frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3} = 1 \Leftrightarrow 1 + \sqrt{1 + 3a^2} = 3$$ $$\Leftrightarrow \sqrt{1 + 3a^2} = 2 \Leftrightarrow 1 + 3a^2 = 4 \Leftrightarrow 3a^2 = 3 \Leftrightarrow a^2 = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$$ Vậy có 2 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.