(Cụm trường THPT Bắc Ninh 2025) Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $ 20\,cm $, chiều rộng $ 10\,cm $, chiều cao $ 8\,cm $ (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $ n\,\left ( { cm } \right ) $, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $ 2n\,\left ( { cm } \right ) $ (hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $ \frac { 2 } { 5 } $ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $ \frac { 1 } { 4 } $ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là $ a\,\left ( { cm ^ { 3 } } \right ). $ Tổng các chữ số của $ a $ bằng bao nhiêu?

+) Thể tích nước trong khay thứ nhất bằng thể tích của khối hộp chữ nhật với các kích thước: chiều dài $ 20\,cm $, chiều rộng $ 10\,cm $, chiều cao $ 8\,cm $ Suy ra thể tích nước là: $ V_{ 1 } =20.10.8=1600\, \left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $. +) Lượng nước trong khay thứ nhất được đổ sang khay thứ hai là $ \frac { 1 } { 4 }V_{ 1 } =400 $ $ \left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $ $ \left ( { 1 } \right ) $ +) Gọi chiều cao của khay nước thứ hai là $ h $ thì chiều cao của mực nước trong khay thứ hai là $ \frac { 2 } { 5 }h $. Đặt $ ABCD $ và $ A'B'C'D' $ lần lượt là đáy nhỏ và đáy lớn của khay thứ hai và $ MNPQ $ là mép nước trong khay thứ hai. Ta có $ S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 2 }AC ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }n ^ { 2 } $ và $ S_{ A'B'C'D' } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { A'C' } \right ) ^ { 2 } =2n ^ { 2 } $ Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt, ta tính được thể tích của khay nước thứ hai là $ V_{ 2 } =\frac { 1 } { 3 }h\left ( { \frac { 1 } { 2 }n ^ { 2 } +2n ^ { 2 } +\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }n ^ { 2 } .2n ^ { 2 } } } \right )=\frac { 7 } { 6 }h.n ^ { 2 } $ $ \left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $ $ \left ( { 2 } \right ) $. +) Gọi $ AA'∩CC'=S $, ta có $ \frac { MP } { A'C' }=\frac { SI } { SO }=\frac { 7 } { 10 }⇒MP=\frac { 7n } { 5 } $ Suy ra $ S_{ MNPQ } =\frac { 1 } { 2 }MP ^ { 2 } =\frac { 49 } { 50 }n ^ { 2 } $ Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt, ta tính được thể tích của lượng nước trong khay nước thứ hai là $ V_{ 3 } =\frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { 2h } { 5 } } \right )\left ( { \frac { 1 } { 2 }n ^ { 2 } +\frac { 49 } { 50 }n ^ { 2 } +\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }n ^ { 2 } .\frac { 49 } { 50 }n ^ { 2 } } } \right )=\frac { 109 } { 375 }h.n ^ { 2 } $ $ \left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $ $ \left ( { 3 } \right ). $ +) Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 3 } \right ) $ suy ra $ \frac { 109 } { 375 }h.n ^ { 2 } =400⇒\frac { 7 } { 6 }hn ^ { 2 } =\frac { 400.875 } { 218 }≈1606 $ $ \left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $ Suy ra $ V_{ 2 } ≈1606 $ $ \left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $$ ⇒a=1606 $. Vậy tổng các chữ số của $ a $ bằng $ 13. $