(THPT Anh Sơn 3 - Nghệ An 2025) Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $4$, khoảng cách từ điểm $A'$ đến mặt phẳng $(AB'C')$ bằng $3$. Tính thể tích khối lăng trụ (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải Gọi $I$ là trung điểm $B'C'$. Khi đó $A'I \perp B'C'$ và $AA' \perp B'C'$, suy ra $B'C' \perp (AA'I)$. Kẻ $A'H \perp AI$ tại $H$, suy ra $A'H \perp (AB'C')$, nên $d(A', (AB'C')) = A'H = 3$. Xét $\triangle AA'I$ vuông tại $A'$: $$ \frac{1}{A'H^{2}} = \frac{1}{AA'^{2}} + \frac{1}{A'I^{2}} $$ Với $A'I = 2\sqrt{3}$: $$ \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{AA'^{2}} + \frac{1}{(2\sqrt{3})^{2}} \Rightarrow \frac{1}{9} = \frac{1}{AA'^{2}} + \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{AA'^{2}} = \frac{1}{36} \Rightarrow AA' = 6 $$ Thể tích khối lăng trụ: $$ V = S_{A'B'C'} \cdot AA' = (4\sqrt{3}) \cdot 6 = 24\sqrt{3} \approx 41,6 $$