Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng $ d:y=m{ \rm{ x } }-m-3 $ cắt đồ thị $ \left ( { C } \right ):y=2{ \rm{ x } } ^ { 3 } -3{ \rm{ x } } ^ { 2 } -2 $ tại ba điểm phân biệt A, B và $ I\left ( { 1;-3 } \right ) $ mà tiếp tuyến với $ \left ( { C } \right ) $ tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S.

Phương trình hoành độ giao điểm là: $ 2{ \rm{ x } } ^ { 3 } -3{ \rm{ x } } ^ { 2 } -2=m{ \rm{ x } }-m-3 $ $ ⇔2{ \rm{ x } } ^ { 3 } -3{ \rm{ x } } ^ { 2 } +1-m\left ( { x-1 } \right )=0⇔\left ( { x-1 } \right )\left ( { 2{ \rm{ x } } ^ { 2 } -x-1 } \right )-m\left ( { x-1 } \right )=0 $ $ ⇔\left ( { x-1 } \right )\left ( { 2{ \rm{ x } } ^ { 2 } -x-1-m } \right )=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=1,\,\,\left ( { y=-3 } \right ) \\ 2{ \rm{ x } } ^ { 2 } -x-1-m=0 \end{array} \right. $ Để d cắt $ \left ( { C } \right ) $ tại 3 điểm phân biệt thì $ g\left ( { x } \right )=2{ \rm{ x } } ^ { 2 } -x-1-m $ có 2 nghiệm phân biệt khác 1 $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} Δ=1+8\left ( { 1+m } \right )>0 \\ g\left ( { 1 } \right )=-m\neq 0 \end{array} \right. $ (*) Gọi $ A\left ( { x_{ 1 } ;m{ \rm{ x } }_{ 1 } -m-3 } \right ) $ và $ B\left ( { x_{ 2 } ;m{ \rm{ x } }_{ 2 } -m-3 } \right ) $ theo Vi-ét ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 } \\ x_{ 1 } x_{ 2 } =\frac { -1-m } { 2 } \end{array} \right. $ Để tiếp tuyến tại A và B của $ \left ( { C } \right ) $ vuông góc với nhau thì $ y'\left ( { x_{ 1 } } \right ).y'\left ( { x_{ 2 } } \right )=-1 $ $ ⇔\left ( { 6{ \rm{ x } }_{ 1 } ^{ 2 }-6{ \rm{ x } }_{ 1 } } \right )\left ( { 6{ \rm{ x } }_{ 2 } ^{ 2 }-6{ \rm{ x } }_{ 2 } } \right )=-1⇔{ \rm{ x } }_{ 1 } x_{ 2 } \left ( { x_{ 1 } -1 } \right )\left ( { x_{ 2 } -1 } \right )=-\frac { 1 } { 36 } $ $ ⇔{ \rm{ x } }_{ 1 } x_{ 2 } \left ( { x_{ 1 } x_{ 2 } -x_{ 1 } -x_{ 2 } +1 } \right )=-\frac { 1 } { 36 }⇔\frac { -1-m } { 2 }\left ( { \frac { -1-m } { 2 }-\frac { 1 } { 2 }+1 } \right )=-\frac { 1 } { 36 } $ $ ⇔\frac { m ^ { 2 } +2m+1 } { 4 }-\frac { 1+m } { 4 }=-\frac { 1 } { 36 }⇔m ^ { 2 } +m+\frac { 1 } { 9 }=0⇔m=\frac { -3±\sqrt[] { 5 } } { 6 }\left ( { t/m\left ( { * } \right ) } \right ) $ Suy ra tổng các phần tử của S bằng $ -1 $.