(Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho điểm $ M\left ( { 2;1;1 } \right ) $ và đường thẳng $ d:\frac { x-3 } { 1 }=\frac { y-3 } { -1 }=\frac { z+1 } { -2 } $. Đường thẳng $ Δ $ đi qua $ M $, song song với mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ):x-2y+z-3=0 $ và tạo với $ d $ góc nhỏ nhất. Gọi $ A\left ( { -8;a;b } \right ) $ là một điểm nằm trên đường thẳng $ Δ $. Tính giá trị $ a+b $.

$ \overset\rightarrow { u_{ Δ } }=\left ( { x;y;z } \right ) $ (với $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } >0 $) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $ Δ $. $ \overset\rightarrow { n_{ Q } }=\left ( { 1;-2;1 } \right ) $ là vectơ pháp tuyến của $ \left ( { Q } \right ) $. $ Δ{ \rm{ // } }\left ( { Q } \right )⇒\overset\rightarrow { u_{ Δ } }.\overset\rightarrow { n_{ Q } }=0⇒x-2y+z=0⇒x=2y-z $ (1) $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=\left ( { 1;-1;-2 } \right ) $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $. Gọi $ \alpha $ là góc giữa hai đường thẳng, ta có: $ \cos\alpha =\frac { \left | { x-y-2z } \right | } { \sqrt[] { 6\left ( { x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } } \right ) } } $ (2) Thế (1) và (2) ta được $ \cos\alpha =\frac { \left | { 2y-z-y-2z } \right | } { \sqrt[] { 6\left ( { 2y-z } \right ) ^ { 2 } +6y ^ { 2 } +6z ^ { 2 } } }=\frac { \left | { y-3z } \right | } { \sqrt[] { 6\left ( { 2y-z } \right ) ^ { 2 } +6y ^ { 2 } +6z ^ { 2 } } } $ +) Trường hợp 1: $ y=0 $ thì $ \cos\alpha =\frac { \left | { -3z } \right | } { \sqrt[] { 12z ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }⇒\alpha =30 ^ { { \rm{ o } } } $. +) Trường hợp 1: $ y\neq 0 $ thì $ \cos\alpha =\frac { \left | { 1-3\frac { z } { y } } \right | } { \sqrt[] { 6\left ( { 2-\frac { z } { y } } \right ) ^ { 2 } +6+6\left ( { \frac { z } { y } } \right ) ^ { 2 } } } $. Đặt $ t=\frac { z } { y }⇒f\left ( { t } \right )=\frac { \left | { 1-3t } \right | } { \sqrt[] { 6\left ( { 2-t } \right ) ^ { 2 } +6+6t ^ { 2 } } }=\sqrt[] { \frac { 9t ^ { 2 } -6t+1 } { 12t ^ { 2 } -24t+30 } } $. Đặt $ g\left ( { t } \right )=\frac { 9t ^ { 2 } -6t+1 } { 12t ^ { 2 } -24t+30 }⇒g'\left ( { t } \right )=\frac { -144t ^ { 2 } +516t-156 } { \left ( { 12t ^ { 2 } -24t+30 } \right ) ^ { 2 } } $. $ g'\left ( { t } \right )=0⇒\left[\begin{array}{l} t=\frac { 13 } { 4 } \\ t=\frac { 1 } { 3 } \end{array}\right. $. $ g\left ( { t } \right )=0⇒\cos\alpha =0⇒\alpha =90 ^ { { \rm{ o } } } $. $ g\left ( { t } \right )=\frac { 35 } { 36 }⇒\cos\alpha =\frac { \sqrt[] { 35 } } { 6 }⇒\alpha ≈9,6 ^ { { \rm{ o } } } $. Suy ra $ g\left ( { t } \right )=\frac { \sqrt[] { 35 } } { 6 } $ khi $ t=\frac { 13 } { 4 } $ thì góc $ \alpha $ nhỏ nhất. Với $ t=\frac { 13 } { 4 }⇒\frac { z } { y }=\frac { 13 } { 4 }⇒z=\frac { 13 } { 4 }y $. Kết hợp với (1) ta được $ x=2y-\frac { 13 } { 4 }y=-\frac { 5 } { 4 }y $. Suy ra $ \overset\rightarrow { u_{ Δ } }=\left ( { -\frac { 5 } { 4 }y;y;\frac { 13 } { 4 }y } \right )=\frac { y } { 4 }\left ( { -5;4;13 } \right ) $. Phương trình tham số của $ Δ $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x=2-5t \\ y=1+4t \\ z=1+13t \end{array} \right. $. $ x_{ A } =-8⇒2-5t=-8⇒t=2⇒\left \{ \begin{array}{l} y_{ A } =9 \\ z_{ A } =27 \end{array} \right.⇒A\left ( { 8;9;27 } \right )⇒\left \{ \begin{array}{l} a=9 \\ b=27 \end{array} \right.⇒a+b=36 $.