Biết phương trình $ \log_{ 3 } \left ( { x+1 } \right )+\log_{ 9 } \left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } +\log_{ \frac { 1 } { 3 } } 4=0 $ có một nghiệm có dạng $ x=\frac { m+\sqrt[] { 41 } } { n } $. ( Với $ m,n $ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau). Tính $ m ^ { 2 } +n ^ { 2 } $

Điều kiện xác định: $ \left \{ \begin{array}{l} x+1>0 \\ \left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } >0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x>-1 \\ x≠4 \end{array} \right. $. $ \,\,\,\,\,\,\log_{ 3 } \left ( { x+1 } \right )+\log_{ 9 } \left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } +\log_{ \frac { 1 } { 3 } } 4=0 ⇔\log_{ 3 } \left ( { x+1 } \right )+\log_{ 3 } \left | { x-4 } \right |=\log_{ 3 } 4 $ $ ⇔\log_{ 3 } \left ( { x+1 } \right )\left | { x-4 } \right |=\log_{ 3 } 4 $ $ ⇔\left ( { x+1 } \right )\left | { x-4 } \right |=4 $ (*) Vì $ \left \{ \begin{array}{l} x>-1 \\ x≠4 \end{array} \right. $nên hai vế của (*) dương. Khi đó $ \left ( { x+1 } \right )\left | { x-4 } \right |=4⇔\left[ \begin{array}{l} \left ( { x+1 } \right )\left | { x-4 } \right | \right] ^ { 2 } =16 ⇔\left[ \left ( { x+1 } \right )\left ( { x-4 } \right ) \right] ^ { 2 } =16 ⇔\left[ \left ( { x+1 } \right )\left ( { x-4 } \right )=4 \\ \left ( { x+1 } \right )\left ( { x-4 } \right )=-4 \end{array} \right. $ Với $ \left ( { x+1 } \right )\left ( { x-4 } \right )=4⇔x ^ { 2 } -3x-8=0⇔x=\frac { 3\pm\sqrt[] { 41 } } { 2 } $. Kết hợp điều kiện $ x>-1 $, ta nhận $ x=\frac { 3+\sqrt[] { 41 } } { 2 } $ (loại $ x=\frac { 3-\sqrt[] { 41 } } { 2 } < -1 $). Với $ \left ( { x+1 } \right )\left ( { x-4 } \right )=-4⇔x ^ { 2 } -3x=0⇔x=0 $ hoặc $ x=3 $ (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm có dạng $ x=\frac { m+\sqrt[] { 41 } } { n } $ là $ x=\frac { 3+\sqrt[] { 41 } } { 2 } $, suy ra $ m=3,n=2 $ (nguyên tố cùng nhau). Do đó $ m ^ { 2 } +n ^ { 2 } =9+4=13 $.