Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh bằng 1. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Trên đường thẳng $AB$ lấy điểm $E$, trên đường thẳng $CN$ lấy điểm $F$ sao cho $EF \parallel DM$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Lời giải: Lời giải Gọi $P$ là điểm đối xứng với điểm $C$ qua $D$. Khi đó, $AP = (ABP) \cap (ACD)$; $MD \parallel BP$ và $BP = 2MD = \sqrt{3}$. $\Rightarrow MD \subset (ABP)$. Theo giả thiết $E \in AB$ và $EF \parallel MD$ nên $F \in AP$. Do đó, $F = CN \cap AP$. Kẻ đường thẳng $d$ qua $F$ và song song với $BP$ (hay $MD$), ta có $E = d \cap AB$. (Ta chú ý rằng hai điểm $E, F$ xác định như trên là duy nhất). Gọi $K$ là trung điểm của $CF$, ta có $AF = DK = \frac{1}{2}FP$. Mà $\Delta AEF \sim \Delta ABP$ nên: $$ \frac{EF}{BP} = \frac{AF}{AP} = \frac{1}{3} $$ Vậy $EF = \frac{1}{3}BP = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh bằng 1. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Trên đường thẳng $AB$ lấy điểm $E$, trên đường thẳng $CN$ lấy điểm $F$ sao cho $EF \parallel DM$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$.

Cùng dạng: Tính chất và hệ quả của hai đường thẳng song song trong không gian