Trắc nghiệm · Câu 58
Cho tứ diện $ABCD$ và ba điểm $P, Q, R$ lần lượt lấy trên ba cạnh $AB, CD, BC$. Cho $PR \parallel AC$ và $CQ = 2QD$. Gọi giao điểm của $AD$ và mặt phẳng $(PQR)$ là $S$. Chọn khẳng định đúng?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$AD = 3DS$.
Lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $RQ$. Nối $P$ với $I$, cắt $AD$ tại $S$.
Ta có:
$$
\frac{DI}{IB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QD} = 1
$$
Mà $\frac{CQ}{QD} = 2$ suy ra:
$$
\frac{DI}{IB} \cdot \frac{BR}{RC} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{DI}{IB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{RC}{BR}
$$
Vì $PR \parallel AC$ suy ra:
$$
\frac{RC}{BR} = \frac{AP}{PB} \Rightarrow \frac{DI}{IB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AP}{PB}
$$
Lại có:
$$
\frac{SA}{SD} \cdot \frac{DI}{IB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1 \Rightarrow \frac{SA}{SD} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1 \Leftrightarrow \frac{SA}{SD} = 2 \Rightarrow AD = 3DS
$$