Trắc nghiệm · Câu 56
Cho tứ diện $ABCD$ trong đó có tam giác $BCD$ không cân. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$ và $G$ là trung điểm của đoạn $MN$. Gọi $A_1$ là giao điểm của $AG$ và $(BCD)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$A_1$ là trọng tâm tam giác $BCD$.
Lời giải
Lời giải
Mặt phẳng $(ABN)$ cắt mặt phẳng $(BCD)$ theo giao tuyến $BN$.
Mà $AG \subset (ABN)$ suy ra $AG$ cắt $BN$ tại điểm $A_1$.
Qua $M$ dựng $MP \parallel AA_1$ với $P \in BN$.
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $P$ là trung điểm của $BA_1 \Rightarrow BP = PA_1 \quad (1)$.
Tam giác $MNP$ có $MP \parallel GA_1$ và $G$ là trung điểm của $MN$.
$\Rightarrow A_1$ là trung điểm của $NP \Rightarrow PA_1 = NA_1 \quad (2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $BP = PA_1 = A_1N \Rightarrow \frac{BA_1}{BN} = \frac{2}{3}$.
Mà $N$ là trung điểm của $CD$.
Do đó, $A_1$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.