Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $ 24 $ gam hương liệu, $ 9 $ lít nước và $ 210 $ gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế $ 1 $ lít nước ngọt loại I cần $ 10 $ gam đường, $ 1 $ lít nước và $ 4 $ gam hương liệu. Để pha chế $ 1 $ lít nước ngọt loại II cần $ 30 $ gam đường, $ 1 $ lít nước và $ 1 $ gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được $ 80 $ điểm thưởng, mỗi lít nước ngọt loại II được $ 60 $ điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội trong cuộc thi là bao nhiêu?

Gọi $ x $ và $ y $ lần lượt là số lít nước ngọt loại I và loại II mà mỗi đội pha chế ($ x, y \ge 0 $). Từ giả thiết bài toán, ta lập được các điều kiện ràng buộc sau: - Lượng đường sử dụng tối đa là 210 gam: $ 10x + 30y \le 210 \Leftrightarrow x + 3y \le 21 $ - Lượng nước sử dụng tối đa là 9 lít: $ x + y \le 9 $ - Lượng hương liệu sử dụng tối đa là 24 gam: $ 4x + y \le 24 $ Ta có hệ bất phương trình xác định miền nghiệm: $ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 3y \le 21 \\ x + y \le 9 \\ 4x + y \le 24 \end{array} \right. $ Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác $ OABCD $ với tọa độ các đỉnh là: - $ O(0;0) $ - $ A(6;0) $ - $ B(5;4) $ - $ C(3;6) $ - $ D(0;7) $ Tổng số điểm thưởng nhận được thu được qua biểu thức: $ P(x;y) = 80x + 60y $ Tính giá trị của $ P(x;y) $ tại các đỉnh của ngũ giác miền nghiệm: - $ P(0;0) = 0 $ - $ P(6;0) = 80 \cdot 6 + 60 \cdot 0 = 480 $ - $ P(5;4) = 80 \cdot 5 + 60 \cdot 4 = 640 $ - $ P(3;6) = 80 \cdot 3 + 60 \cdot 6 = 600 $ - $ P(0;7) = 80 \cdot 0 + 60 \cdot 7 = 420 $ So sánh các giá trị trên, ta thấy số điểm thưởng cao nhất có thể đạt được là 640 điểm khi mỗi đội pha chế 5 lít nước ngọt loại I và 4 lít nước ngọt loại II.