Một hộ nông dân dự định trồng nha đam và măng tây trên diện tích $ 10 $ ha. Nếu trồng nha đam thì cần $ 10 $ công và thu được $ 4 $ triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Nếu trồng măng tây thì cần $ 30 $ công và thu được $ 6 $triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi số tiền người nông dân thu được nhiều nhất là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng tổng số công không vượt quá $ 150 $ công.

Gọi $ x,y $ lần lượt là diện tích (ha) trồng nha đam và măng tây $ \left ( { x≥0,\,y≥0 } \right ) $. Theo bài ta có hệ phương trình sau: $ \left \{ \begin{array}{l} x≥0 \\ y≥0 \\ x+y≤10 \\ 10x+30y≤150 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x≥0 \\ y≥0 \\ x+y≤10 \\ x+3y≤15 \end{array} \right. $ Số tiền người nông dân thu được là: $ F(x,y)=4x+6y $ (triệu). Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm $ F(x,y)=4x+6y $ với $ x,y $ thỏa mãn các điều kiện trong đề bài. Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm và xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là tứ giác $ OABC $ với tọa độ các đỉnh $ O(0;0) $,$ A(0;5) $,$ B(7,5;\,2,5) $,$ C(10,0) $. Bước 2. Tính giá trị của biểu thức $ F $ tại các đỉnh của ngũ giác này: $ F(0,0)=0 $,$ F(0;5)=30 $,$ F(7,5;\,2,5)=30+15=45 $,$ F(10;0)=40 $. Bước 3. So sánh các giá trị thu được của $ F $ ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là: $ F(7,5;\,2,5)=30+15=45 $. Vậy số tiền bác nông dân thu được nhiều nhất là $ 45 $ triệu.