Một khách hàng cần đặt một thợ mộc một số bàn học và một số ghế. Để làm một cái bàn học người thợ mất $6$ giờ và mất $4$ giờ để làm một cái ghế. Người thợ mộc có tối đa $36$ giờ/tuần để làm bàn và ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế nhiều nhất là hơn số bàn một cái. Số lượng bàn và ghế tối đa người thợ mộc có thể làm được trong một tuần là $7$ cái. Biết một cái bàn học bán ra lãi $180$ nghìn đồng, mỗi cái ghế bán ra lãi $140$ nghìn đồng. Số tiền lãi thu về lớn nhất khi người thợ đóng được $x_{0}$ cái ghế và $y_{0}$ cái bàn trong $1$ tuần. Tính $x_{0} + y_{0}$.

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số ghế và số bàn học mà người thợ mộc làm được trong một tuần ($x, y \ge 0; x, y \in \mathbb{Z}$). Từ các điều kiện ràng buộc của bài toán, ta lập được các bất phương trình sau: - Thời gian làm việc tối đa trong tuần là 36 giờ: $4x + 6y \le 36 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 18$ - Số ghế nhiều nhất chỉ hơn số bàn một cái: $x \le y + 1 \Leftrightarrow x - y \le 1$ - Tổng số lượng bàn và ghế không quá 7 cái: $x + y \le 7$ Ta có hệ bất phương trình xác định miền nghiệm: $$ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + 3y \le 18 \\ x - y \le 1 \\ x + y \le 7 \end{array} \right. $$ Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác $OABCD$ (kể cả biên) với tọa độ các đỉnh là: - $O(0;0)$ - $A(1;0)$ - $B(4;3)$ - $C(3;4)$ - $D(0;6)$ Số tiền lãi thu về (đơn vị: nghìn đồng) được biểu diễn qua hàm số mục tiêu: $P(x;y) = 140x + 180y$ Tính giá trị của $P(x;y)$ tại tọa độ các đỉnh của miền nghiệm: - $P(0;0) = 0$ - $P(1;0) = 140 \cdot 1 + 180 \cdot 0 = 140$ - $P(4;3) = 140 \cdot 4 + 180 \cdot 3 = 1100$ - $P(3;4) = 140 \cdot 3 + 180 \cdot 4 = 1140$ - $P(0;6) = 140 \cdot 0 + 180 \cdot 6 = 1080$ So sánh các giá trị trên, số tiền lãi lớn nhất là $P(3;4) = 1140$ nghìn đồng, đạt được khi $x_{0} = 3$, $y_{0} = 4$. Vậy $x_{0} + y_{0} = 3 + 4 = 7$.