Thầy Lộc PT tư vấn cho học viên mới (cao 1m7 nặng 70kg) về chế độ ăn mỗi ngày không quá: $139$ g Protein, $242,1$ g Carbohydrate (Carb), và $80$ g chất béo lành mạnh từ các thực phẩm chính là trứng, yến mạch, thịt bò. Trong một ngày không ăn quá $800$ g trứng, tỉ lệ khối lượng yến mạch và thịt bò là $3:2$. Gọi $x$ và $y$ (tính theo đơn vị $100$ g) lần lượt là khối lượng thịt bò và trứng cần mua để ăn trong một ngày sao cho số tiền mua là nhiều nhất và đảm bảo đúng chế độ ăn. Biết giá tiền và hàm lượng dinh dưỡng của các thực phẩm được cho trong bảng sau: | Thực phẩm | Giá (nghìn đ/100g) | Protein (g/100g) | Carb (g/100g) | Chất béo (g/100g) | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | | Thịt bò | 22 | 26 | 0 | 5 | | Trứng | 7 | 15 | 0,7 | 9 | | Yến mạch | 21 | 14 | 80 | 10 | Khi đó tổng khối lượng theo đơn vị $100$ g của cả 3 loại thực phẩm là bao nhiêu?

Điều kiện: $x \ge 0$ và $0 \le y \le 8$. Vì tỉ lệ khối lượng yến mạch và thịt bò là $3:2$ nên khối lượng yến mạch cần dùng là $\frac{3}{2}x$ (đơn vị $100$ g). Dựa vào giới hạn dinh dưỡng không quá mỗi ngày, ta lập được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để xác định miền nghiệm: $$ \left\{ \begin{array}{l} 47x + 15y \le 139 \\\\ 120x + 0,7y \le 242,1 \\\\ 20x + 9y \le 80 \\\\ x \ge 0 \\\\ 0 \le y \le 8 \end{array} \right. \quad (*) $$ Miền nghiệm của hệ $(*)$ là miền ngũ giác $OABCD$ (kể cả các cạnh). Tọa độ các đỉnh được xác định là: - $O(0; 0)$ - $A(0; 8)$ - $B(0,4; 8)$ là giao điểm của $y = 8$ và $20x + 9y = 80$. - $C(2; 3)$ là giao điểm của $47x + 15y = 139$ và $120x + 0,7y = 242,1$. - $D(2; 0)$ (xấp xỉ $2,0175$ khi xét giao điểm của đường Carb với trục hoành). Hàm số biểu diễn tổng chi phí mua thực phẩm (đơn vị: nghìn đồng) là: $$ T(x; y) = 22x + 7y + 21 \cdot \left(\frac{3}{2}x\right) = 53,5x + 7y $$ Tính giá trị của hàm chi phí $T(x; y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm: - $T(0; 0) = 0$ - $T(0; 8) = 7 \cdot 8 = 56$ - $T(0,4; 8) = 53,5 \cdot 0,4 + 7 \cdot 8 = 77,4$ - $T(2; 3) = 53,5 \cdot 2 + 7 \cdot 3 = 128$ - $T(2; 0) = 53,5 \cdot 2 = 107$ So sánh các giá trị trên, số tiền lớn nhất là $T(2; 3) = 128$ nghìn đồng, đạt được khi $x_{0} = 2$ (thịt bò) và $y_{0} = 3$ (trứng). Khi đó khối lượng yến mạch là $\frac{3}{2} \cdot 2 = 3$ (đơn vị $100$ g). Vậy tổng khối lượng của cả 3 loại thực phẩm là $2 + 3 + 3 = 8$ (đơn vị $100$ g).