Bác Minh có một mảnh đất canh tác rộng $5$ nghìn $m^2$, bác dự định trồng ngô và khoai lang trên cả diện tích đó. Nếu trồng ngô thì cần $4$ ngày công và thu $3$ triệu đồng trên diện tích mỗi nghìn $m^2$, nếu trồng khoai lang thì cần $6$ ngày công và thu $4$ triệu đồng trên diện tích mỗi nghìn $m^2$. Biết rằng tổng số ngày công không quá $24$ ngày, hãy tính số tiền (triệu đồng) mà bác Minh thu về được nhiều nhất?

Gọi $x$ và $y$ (tính theo đơn vị nghìn $m^2$) lần lượt là diện tích trồng ngô và diện tích trồng khoai lang ($x \le 5, y \le 5$ và $x \ge 0, y \ge 0$). Từ giả thiết bài toán, ta lập được các điều kiện ràng buộc sau: - Tổng diện tích đất trồng không vượt quá mảnh đất hiện có: $x + y \le 5$ - Tổng số ngày công chăm sóc không quá $24$ ngày: $4x + 6y \le 24 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 12$ Ta có hệ bất phương trình xác định miền nghiệm: $$ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 5 \\ 2x + 3y \le 12 \end{array} \right. $$ Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên) với tọa độ các đỉnh là: - $O(0;0)$ - $A(0;4)$ (giao điểm của đường thẳng $2x + 3y = 12$ với trục $Oy$) - $B(3;2)$ (giao điểm của hai đường thẳng $x + y = 5$ và $2x + 3y = 12$) - $C(5;0)$ (giao điểm của đường thẳng $x + y = 5$ với trục $Ox$) Tổng số tiền bác Minh thu về (đơn vị: triệu đồng) được biểu diễn qua hàm số mục tiêu: $$ F(x;y) = 3x + 4y $$ Tính giá trị của hàm thu nhập $F(x;y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm: - $F(0;0) = 0$ - $F(0;4) = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 4 = 16$ - $F(3;2) = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 17$ - $F(5;0) = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 0 = 15$ So sánh các giá trị trên, số tiền lớn nhất bác Minh thu về được là $F(3;2) = 17$ triệu đồng.