Một công ty dự kiến chi 20 triệu đồng cho một đợt quảng cáo sản phẩm của mình. Biết rằng chi phí cho $ 1 $ phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng và chi phí cho $ 1 $ phút quảng cáo trên truyền hình là $ 4 $ triệu đồng. Đài phát thanh chỉ nhận các chương trình quảng cáo dài ít nhất 6 phút, đài truyền hình chỉ nhận các chương trình quảng cáo dài tối đa 5 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng $ 1 $ phút quảng cáo, trên đài truyền hình sẽ có hiệu quả gấp $ 6 $ lần trên đài phát thanh. Để đạt hiệu quả tối đa thì công ty đó cần quảng cáo bao nhiêu phút trên đài truyền hình?

Gọi $ x $ (phút), $ y $(phút) tương ứng là thời gian công ty đó quảng cáo trên đài phát thanh và trên đài truyền hình. Chi phí công ty cần bỏ ra là $ x+4y $ (triệu đồng). Mức chi này không vượt quá chi phí công ty đặt ra nên $ x+4y≤20 $. Do các điều kiện đài phát thanh và đài truyền hình đưa ra nên ta có $ x≥6 $, $ 0≤y≤5 $. Hiệu quả của quảng cáo là $ F\left ( { x;y } \right )=x+6y $. Bài toán trở thành: Xác định $ x,y $ sao cho $ F\left ( { x;y } \right ) $ đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện $ \left \{ \begin{array}{l} x+4y≤20 \\ x≥6 \\ 0≤y≤5 \end{array} \right. $ (*). Biểu diễn miền nghiệm của (*) như hình sau Miền nghiệm của hệ (*) là hình tam giác $ MNP $ với $ M\left ( { 6;0 } \right ) $, $ P\left ( { 20;0 } \right ) $ và $ N\left ( { 6;\frac { 14 } { 5 } } \right ) $. Ta có $ F\left ( { 6;0 } \right )=6 $, $ F\left ( { 20;0 } \right )=20 $, $ F\left ( { 6;\frac { 14 } { 5 } } \right )=22.8 $. Do đó để đạt hiệu quả cao nhất thì công ty đó cần quảng cáo 6 phút trên đài phát thanh và $ \frac { 14 } { 5 }=2,8 $ phút trên đài truyền hình.