Một xưởng có máy cắt và máy tiện dùng để sản xuất trục sắt và đinh ốc. Sản xuất 1 tấn trục sắt thì lần lượt máy cắt chạy trong 3 giờ và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 2 triệu. Sản xuất 1 tấn đinh ốc thì lần lượt máy cắt và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 1 triệu. Một máy không thể sản xuất cả 2 loại. Máy cắt làm không quá 6 giờ/ngày, máy tiện làm không quá 4 giờ/ngày. Theo tính toán, nếu một ngày xưởng sản xuất được $a$ tấn trục sắt và $b$ tấn đinh ốc thì tiền lãi sẽ đạt cao nhất. Tính $ T=a+3b $.

Gọi $ x,y $ lần lượt là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong ngày. Số tiền lãi mỗi ngày: $ L(x,y)=2x+y $ (triệu đồng). Số giờ làm việc mỗi ngày của máy cắt: $ 3x+y $ (giờ). Số giờ làm việc mỗi ngày của máy tiện: $ x+y $ (giờ). Ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 3x+y≤6 \\ x+y≤4 \\ x≥0 \\ y≥0 \end{array} \right.\, \left ( { * } \right ) $ Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình $ \left ( { * } \right ) $, tìm nghiệm $ (x_{ 0 } ;y_{ 0 } ) $ sao cho $ L\left ( { x;y } \right )=2x+y $ lớn nhất. Miền nghiệm của $ (*) $ là tứ giác $ OABC $như hình vẽ với $ O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4) $. Ta có: $ L(0;0)=0,L(2;0)=4,L(1,3)=5,L(0,4)=4 $. Suy ra: GTLN của $ L\left ( { x;y } \right ) $ bằng $ 5 $ khi $ \left ( { x;y } \right )=\left ( { 1;3 } \right ) $ Vậy một ngày xưởng nên sản xuất 1 tấn trục sắt và 3 tấn đinh ốc để tiền lãi cao nhất. Khi đó $ a=1, b=3  $nên $ a+3b=10 $.