Bác Quân là chủ một trang trại, bác dự định trồng cà phê và ca cao trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Biết rằng, trên mỗi ha, nếu trồng cà phê thì cần 20 ngày công và thu được 9 triệu đồng, nếu trồng ca cao thì cần 30 ngày công và thu được 12 triệu đồng. Bác Quân xác định đầu tư không quá 180 ngày công. Biết rằng, bác Quân cần trồng $ m $ ha cà phê và $ n $ ha ca cao sẽ thu được nhiều tiền nhất. Giá trị $ mn $ bằng bao nhiêu?

Gọi $ x $, $ y $ (ha) lần lượt là diện tích đất trồng cà phê và ca cao. Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} x≥0 \\ y≥0 \\ x+y≤8 \\ 20x+30y≤180 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x≥0 \\ y≥0 \\ x+y≤8 \\ 2x+3y≤18 \end{array} \right. $ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta được miền nghiệm là miền tứ giác $ OABC $ với $ O\left ( { 0;0 } \right ) $, $ A\left ( { 0;6 } \right ) $, $ B\left ( { 6;2 } \right ) $, $ C\left ( { 8;0 } \right ) $. Số tiền thu được là $ F\left ( { x;y } \right )=9x+12y $ (triệu đồng). Ta có $ F\left ( { 0;0 } \right )=0 $, $ F\left ( { 0;6 } \right )=72 $, $ F\left ( { 6;2 } \right )=78 $, $ F\left ( { 8;0 } \right )=72 $. Do đó giá trị lớn nhất của $ F\left ( { x;y } \right ) $ là $ 78 $ (triệu đồng), đạt được khi $ x=6;\,y=2 $. Vậy bác Quân trồng cà phê và ca cao trên diện tích tương ứng là 6 ha và 2 ha thì thu được nhiều tiền nhất.