Cho $ ABC $ đều có độ dài cạnh bằng $ \sqrt[] { 3 } $. Gọi $ d $ là đường thẳng qua $ A $ và song song $ BC $, điểm $ M $ di động trên $ d $. Tính giá trị nhỏ nhất của $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }-\overset\rightarrow { MC } } \right | $

Giả sử I là điểm thỏa mãn $ \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }-\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 } $ Ta có $ \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }-\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }⇔2\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { CA }=\overset\rightarrow { 0 }⇔\overset\rightarrow { IB }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } $ Gọi N là trung điểm của AC suy ra $ \overset\rightarrow { IB }=\overset\rightarrow { NC } $ suy ra I là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCNI Ta có $ T=\left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }-\overset\rightarrow { MC } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA }+2\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right )-\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC } } \right ) } \right |=\left | { 2MI } \right |=2MI $ Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d, khi đó với mọi điểm M thuộc d ta luôn có $ MI≥HI $ nên T nhỏ nhất khi $ MI=HI $ hay $ M≡H $ Suy ra $ T_{ \min } =2HI=AK=2.\frac { \sqrt[] { 3 }\sqrt[] { 3 } } { 2 }=3 $ với K là hình chiếu vuông góc của A trên BC