Cho tam giác $ ABC $có độ dài $ AB=6,BC=8,AC=9 $, lấy $ M $ là trung điểm của $ AC $. Điểm $ E $ thỏa mãn $ \overset\rightarrow { EA }+2\overset\rightarrow { EB }+3\overset\rightarrow { EC }=\overset\rightarrow { 0 } $. Tính độ dài $ ME+EC $ ( làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi $ I $ trung điểm BC ta có $ \overset\rightarrow { EA }+2\overset\rightarrow { EB }+3\overset\rightarrow { EC }=\overset\rightarrow { 0 }⇔\overset\rightarrow { EA }-\overset\rightarrow { EB }+3\overset\rightarrow { EB }+3\overset\rightarrow { EC }=\overset\rightarrow { 0 } \ ⇔\overset\rightarrow { BA }+6\overset\rightarrow { EI }=\overset\rightarrow { 0 }⇔6\overset\rightarrow { EI }=-\overset\rightarrow { BA }=\overset\rightarrow { AB } $ Suy ra $ \overset\rightarrow { EI }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { MI }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AB } $ Từ đó có $ ME=2,EI=1 $ Xét ta giác $ MCE $ ta có: $ EC ^ { 2 } =ME ^ { 2 } +MC ^ { 2 } -2ME.MC.\cos \widehat { CME } \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=ME ^ { 2 } +MC ^ { 2 } -2ME.MC.\cos \widehat { BAC } \ ⇔EC ^ { 2 } =2 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } -2.8.\frac { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -BC ^ { 2 } } { 2.AB.AC }=\frac { 101 } { 6 } \ ⇔EC=\sqrt[] { \frac { 101 } { 6 } } $ Vậy $ ME+EC=\sqrt[] { \frac { 101 } { 6 } }+2≈6,10 $