Đúng/Sai · Câu 9
Một sợi dây kim loại dài $a$ ($cm$). Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài $x$ ($cm$) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông ($a > x > 0$).
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Lời giải
Do $x$ là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn ($0 < x < a$), suy ra chiều dài đoạn còn lại là $a - x$.
Chu vi đường tròn: $2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2\pi}$.
Diện tích hình tròn:
$$
S_{1} = \pi \cdot r^{2} = \pi \cdot \left( \frac{x}{2\pi} \right)^{2} = \frac{x^{2}}{4\pi}
$$
Diện tích hình vuông:
$$
S_{2} = \left( \frac{a - x}{4} \right)^{2}
$$
Tổng diện tích hai hình:
$$
S = \frac{x^{2}}{4\pi} + \left( \frac{a - x}{4} \right)^{2} = \frac{4x^{2} + \pi(a - x)^{2}}{16\pi} = \frac{(4 + \pi)x^{2} - 2a\pi x + \pi a^{2}}{16\pi}
$$
Đạo hàm:
$$
S' = \frac{(4 + \pi)2x - 2a\pi}{16\pi} = \frac{(4 + \pi)x - a\pi}{8\pi}
$$
$$
S' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a\pi}{4 + \pi}
$$
Suy ra hàm $S$ có cực tiểu tại $x = \frac{a\pi}{4 + \pi}$. Vậy tổng diện tích nhỏ nhất tại giá trị $x$ này.