Cho dãy số $ (u_{ n } ) $; $ (v_{ n } ) $ lần lượt được xác định bởi công thức $ u_{ n } =\sqrt[] { n ^ { 2 } +1 } $ và $ v_{ n } =\sqrt[3] { n ^ { 3 } +n ^ { 2 } } $.

a) Sai. $ \lim\limits_{ n→+∞ } (u_{ n } ^{ 2 }-v_{ n } ^{ 3 })=\lim\limits_{ n→+∞ } (n ^ { 2 } +1-(n ^ { 3 } +n ^ { 2 } ))=\lim\limits_{ n→+∞ } (-n ^ { 3 } +1)=\lim\limits_{ n→+∞ } n ^ { 3 } (-1+\frac { 1 } { n ^ { 3 } })=-∞ $ b) Đúng. $ \lim\limits_{ n→+∞ } n ^ { 2 } (u_{ n } -n)=\lim\limits_{ n→+∞ } n ^ { 2 } (\sqrt[] { n ^ { 2 } +1 }-n)=\lim\limits_{ n→+∞ } \frac { n ^ { 2 } } { \sqrt[] { n ^ { 2 } +1 }+n }=\lim\limits_{ n→+∞ } \frac { n } { \sqrt[] { 1+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } }+1 }=+∞ $ c) Đúng. $ \lim\limits_{ n→+∞ } (u_{ n } +v_{ n } -n)=\lim\limits_{ n→+∞ } (\sqrt[3] { n ^ { 3 } +n ^ { 2 } }+\sqrt[] { n ^ { 2 } +1 }-n)=\lim\limits_{ n→+∞ } n(\sqrt[3] { 1+\frac { 1 } { n } }+\sqrt[] { 1+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } }-1)=+∞ $ d) Sai. $ \lim\limits_{ n→+∞ } n(v_{ n } -u_{ n } )=\lim\limits_{ n→+∞ } n(\sqrt[3] { n ^ { 3 } +n ^ { 2 } }-\sqrt[] { n ^ { 2 } +1 })=\lim\limits_{ n→+∞ } n(\sqrt[3] { n ^ { 3 } +n ^ { 2 } }-n-(\sqrt[] { n ^ { 2 } +1 }-n)) \\ { \rm{ } }=\lim\limits_{ n→+∞ } n(\frac { n ^ { 2 } } { (\sqrt[3] { n ^ { 3 } +n ^ { 2 } }) ^ { 2 } +n\sqrt[3] { n ^ { 3 } +n ^ { 2 } }+n ^ { 2 } }-\frac { 1 } { \sqrt[] { n ^ { 2 } +1 }+n }) \\ { \rm{ = } }\lim\limits_{ n→+∞ } n(\frac { 1 } { \sqrt[3] { (1+\frac { 1 } { n } }) ^ { 2 } +\sqrt[3] { 1+\frac { 1 } { n } }+1 }-\frac { 1 } { \sqrt[] { n ^ { 2 } +1 }+n })=+∞ $