Trong không gian $ Oxyz $, cho hai điểm $ A\left ( { 1;2;-1 } \right ),B\left ( { 3;0;3 } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x+by+cz+d=0 $. Biết mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua điểm $ A $ và cách $ B $ một khoảng lớn nhất. Tính $ S=b+c+d. $

Ta có $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 2\,;\,-2\,;\,4 } \right )⇒AB=2\sqrt[] { 6 } $. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ B $ trên mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Ta có $ d\left ( { B,\left ( { P } \right ) } \right )=BH\leq BA=2\sqrt[] { 6 }⇒{ \rm{ \max } }\,d\left ( { B,\left ( { P } \right ) } \right )=2\sqrt[] { 6 } $, đạt được khi $ H≡A $. Khi đó mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua $ A $ và nhận $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 2\,;\,-2\,;\,4 } \right ) $ là véctơ pháp tuyến. Suy ra phương trình mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ là $ 2\left ( { x-1 } \right )-2\left ( { y-2 } \right )+4\left ( { z+1 } \right )=0⇔x-y+2z+3=0. $ Vậy $ S=4. $