Trong không gian $ Oxyz $, cho hai điểm $ A\left ( { 2;-2;4 } \right ) $, $ B\left ( { -3;3;-1 } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):2x-y+2z-8=0 $. Xét $ M $ là điểm thay đổi thuộc $ \left ( { P } \right ) $, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ 2MA ^ { 2 } +3MB ^ { 2 } . $

Gọi $ I\left ( { x;y;z } \right ) $ là điểm thỏa mãn $ 2\overset\rightarrow { IA }+3\overset\rightarrow { IB }=0 $ suy ra $ I\left ( { -1;1;1 } \right ) $. $ IA ^ { 2 } =27 $; $ IB ^ { 2 } =12 $; $ d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )=3 $ $ 2MA ^ { 2 } +3MB ^ { 2 } =2\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } } \right ) ^ { 2 } +3\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right ) ^ { 2 } =5\overset\rightarrow { MI } ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { IA } ^ { 2 } +3\overset\rightarrow { IB } ^ { 2 } =5MI ^ { 2 } +90 $ Mà $ 2MA ^ { 2 } +3MB ^ { 2 } $nhỏ nhất $ ⇔ $ $ MI $ nhỏ nhất. Ta có $ MI\geq d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )=3 $. Suy ra $ 2MA ^ { 2 } +3MB ^ { 2 } \geq 5.9+90=135 $. Vậy biểu thức $ 2MA ^ { 2 } +3MB ^ { 2 } $ nhỏ nhất bằng 135.