Trong một quảng trường, có hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí$ A(1;2;-1) $ và $ B(-2;1;0) $. Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình: $ (P):x-2y+z+4=0 $. Gọi tọa độ điểm đặt trụ đèn là $ M(a;b;c) $. Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm $ A $ và $ B $ sao cho $ MA ^ { 2 } =MB ^ { 2 } =2,75 $ Tính giá trị của $ a+b+c $.

Đưa bài toán về thuần $ Oxyz $ ta được: cho $ A\left ( { 1;\,2;\,-1 } \right ),B\left ( { -2;\,1;\,0\, } \right ) $điểm $ M\left ( { a;\,b;\,c } \right ) $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x-2y+z+4=0 $ sao cho $ MA=MB=\frac { \sqrt[] { 11 } } { 2 } $. Tìm giá trị của $ a+b+c $ + Gọi $ \left ( { Q } \right ) $ là mặt phẳng trung trực của đoạn $ AB $, khi đó $ \left ( { Q } \right ) $ qua điểm $ I\left ( { -\frac { 1 } { 2 };\frac { 3 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $ và có vec tơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { -3;\,-1;\,1 } \right ) $, nên có phương trình là: $ -3\left ( { x+\frac { 1 } { 2 } } \right )-\left ( { y-\frac { 3 } { 2 } } \right )+\left ( { z+\frac { 1 } { 2 } } \right )=0 ⇔-3x-y+z+\frac { 1 } { 2 }=0 $. + Vì $ MA=MB $ nên $ M $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ) $, do đó thỏa mãn hệ $ \left \{ \begin{array}{l} x-2y+z+4=0 \\ -3x-y+z+\frac { 1 } { 2 }=0 \end{array} \right.⇔ $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} -2y+z=-x-4 \\ -y+z=3x-\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} y=4x+\frac { 7 } { 2 } \\ z=7x+3 \end{array} \right. $$ ⇒M\left ( { x;\,4x+\frac { 7 } { 2 };\,7x+3 } \right ) $. + Có $ MA=\frac { \sqrt[] { 11 } } { 2 }⇔\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 4x+\frac { 3 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 7x+4 } \right ) ^ { 2 } =\frac { 11 } { 4 }⇔x=-\frac { 1 } { 2 } $$ ⇒M\left ( { -\frac { 1 } { 2 };\frac { 3 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $ + Vậy $ a+b+c=\frac { 1 } { 2 } $.