Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua điểm $ M\left ( { 9;1;1 } \right ) $ cắt các tia $ Ox,Oy,Oz $ tại $ A,B,C $ ($ A,B,C $ không trùng với gốc tọa độ). Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện $ OABC $ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Giả sử $ A\left ( { a;0;0 } \right ),B\left ( { 0;b;0 } \right ),C\left ( { 0;0;c } \right ) $ với $ a,b,c>0 $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $có phương trình (theo đoạn chắn): $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1 $. Vì mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua điểm $ M\left ( { 9;1;1 } \right ) $nên $ \frac { 9 } { a }+\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }=1 $. Ta có $ 1=\frac { 9 } { a }+\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }\geq 3\sqrt[3] { \frac { 9 } { a.b.c } }\ ⇒a.b.c\geq 243 $. $ V_{ OABC } =\frac { 1 } { 6 }a.b.c\geq \frac { 243 } { 6 }=\frac { 81 } { 2 }. $ Vậy thể tích tứ diện $ OABC $ đạt giá trị nhỏ nhất là $ \frac { 81 } { 2 }=40,5. $