Một nhóm chuyên gia đang nghiên cứu dựng một tấm kính cường lực hình tam giác để đặt vào một góc tường. Biết ba mặt của góc tường đôi một vuông góc và giao tuyến của chúng lần lượt là các tia $ Ox,Oy,Oz $ sao cho $ \left ( { Oxy } \right ) $ trùng với mặt phẳng sàn nhà, mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ ứng với $ 1m $ thực tế. Mặt phẳng kính luôn đi qua điểm $ I $, điểm này cách các mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ),\left ( { Oyz } \right ),\left ( { Oxz } \right ) $ lần lượt là $ 1m,{ \rm{ } }3m,{ \rm{ } }2m $. Khi khoảng cách từ chiếc đèn có tọa độ $ D\left ( { 4;5;6 } \right ) $ tới mặt phẳng kính lớn nhất, tính diện tích tấm kính cường lực theo $ m ^ { 2 } $(kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Từ giả thiết: điểm $ I $ cách các mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ),\left ( { Oyz } \right ),\left ( { Oxz } \right ) $ lần lượt là $ 1m,{ \rm{ } }3m,{ \rm{ } }2m $. $ ⇒ $Điểm $ I $ có tọa độ $ I\left ( { 3;2;1 } \right ) $. Giả sử $ A,B,C $ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa kính cường lực $ \left ( { P } \right ) $ với các tia $ Ox,Oy,Oz $. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ D $ trên mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Ta có: $ DH\leq ID=\sqrt[] { 35 } $. Dấu “=” xảy ra khi $ H $ trùng với $ I $. Khi đó $ ID $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Ta có $ \left ( { P } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} { \rm{ qua } }I\left ( { 3;2;1 } \right ) \\ VTPT,\overset\rightarrow { n }=\overset\rightarrow { ID }=\left ( { 1;3;5 } \right ) \\ \end{array} \end{array} \right.⇒\left ( { P } \right ):x+3y+5z-14=0 $. Gọi $ A,\,B,\,C $ lần lượt là giao điểm của $ \left ( { P } \right ) $ với các tia $ Ox,\,Oy,\,Oz $, suy ra: $ A\left ( { 14;0;0 } \right ),B\left ( { 0;\frac { 14 } { 3 };0 } \right ),C\left ( { 0;0;\frac { 14 } { 5 } } \right ) $. Diện tích của tấm kính cường lực: $ S_{ \vartriangle ABC } =\frac { 1 } { 2 }\left | { \left[ \overset\rightarrow { AB };\overset\rightarrow { AC } \right] } \right |=\frac { 196\sqrt[] { 35 } } { 15 }≈77,3 $ Vậy khi khoảng cách từ chiếc đèn có tọa độ $ D\left ( { 4;5;6 } \right ) $ tới mặt phẳng kính lớn nhất, diện tích tấm kính cường lực xấp xỉ bằng $ 77,3 $ $ m ^ { 2 } $.