Trong không gian $ Oxyz $, cho hai điểm $ A\left ( { 1;-1;-2 } \right ),B\left ( { 1;-2;1 } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x-2y-z+5=0 $. Gọi điểm $ M\left ( { a;b;c } \right ) $ thay đổi thuộc $ \left ( { P } \right ) $ sao cho $ \left | { MA-MB } \right | $ đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị biểu thức $ T=a+b+c $?

Xét thấy $ A $ và $ B $ nằm cùng phía so với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Mặt khác, ta có: $ \|MA-MB\|\leq AB=\sqrt[] { 10 } $. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ M=AB∩\left ( { P } \right ) $. Ta có $ AB:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1{ \rm{ } } \\ y=-1-t \\ z=-2+3t \\ \end{array} \end{array} \right.{ \rm{ } }\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $. $ M\in AB⇒M\left ( { 1;-1-t;-2+3t } \right ) $. Do đó $ \left | { MA-MB } \right | $ đạt giá trị lớn nhất khi $ A,B,M $ thẳng hàng hay $ M=AB∩\left ( { P } \right ) $ nên ta có: $ 1-2\left ( { -1-t } \right )-\left ( { -2+3t } \right )+5=0⇔t=10⇒M\left ( { 1;-11;28 } \right ) $. Khi đó $ T=1-11+28=18 $.