Trong không gian $ Oxyz $, cho hai điểm $ A\left ( { 1;2;3 } \right ),B\left ( { 1;1;0 } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x-2y-2z+3=0 $. Gọi điểm $ M\left ( { a;b;c } \right ) $ thay đổi thuộc $ \left ( { P } \right ) $ sao cho $ MA+MB $ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $ T=a+b+c $?

Xét thấy $ A $ và $ B $ nằm khác phía so với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Ta có: $ MA+MB\geq AB=\sqrt[] { 10 } $. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ M=AB∩\left ( { P } \right ) $. Ta có $ AB:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1{ \rm{ } } \\ y=2+t \\ z=3+3t \\ \end{array} \end{array} \right.\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $, $ M\in AB⇒M\left ( { 1;2+t;3+3t } \right ) $. Khi $ MA+MB $ đạt giá trị nhỏ nhất thì $ M=AB∩\left ( { P } \right ) $ nên ta có: $ 1-2\left ( { 2+t } \right )-2\left ( { 3+3t } \right )+3=0⇔t=-\frac { 3 } { 4 }⇒M\left ( { 1;\frac { 5 } { 4 };\frac { 3 } { 4 } } \right ) $. Khi đó $ T=1+\frac { 5 } { 4 }+\frac { 3 } { 4 }=3 $.