Cho hình lập phương $ ABCD⋅A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ có cạnh bằng $ a $. Tính tang của góc giữa mặt phẳng $ (ABCD) $ và mặt phẳng $ \left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) $. ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $, khi đó $ AO⊥BD,A ^ { ′ } O⊥BD $. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $ (ABCD) $ và $ \left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) $ bằng góc giữa hai đường thẳng $ AO $ và $ A ^ { ′ } O $. Ta có: $ AO=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 };AA ^ { ′ } =a $ và tam giác $ AA ^ { ′ } O $ vuông tại $ A $ nên $ \tan\left ( { AO,A ^ { ′ } O } \right )=\tan \widehat { AOA ^ { ′ } }=\frac { AA ^ { ′ } } { AO }=\sqrt[] { 2 } $ Vậy tang của góc giữa hai mặt phẳng $ (ABCD) $ và $ \left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) $ bằng $ \sqrt[] { 2 }≈1,41 $.