Cho phương trình $ \log_{2}(x - 1) - \log_{\frac{1}{2}}x = 1 + \log_{2}(3x - 5) $

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Ta có: $ \log_{\frac{1}{2}}x = -\log_{2}x $ Đúng. b. Điều kiện xác định của phương trình $ \begin{cases} x - 1 > 0 \ x > 0 \ 3x - 5 > 0 \end{cases} $. Đúng. c. Phương trình đã cho tương đương $ \log_{2}(x - 1) + \log_{2}x = \log_{2}2(3x - 5) $. Đúng. d. Phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm. Sai. Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải Điều kiện xác định: $$ \begin{cases} x - 1 > 0 \ x > 0 \ 3x - 5 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 1 \ x > 0 \ x > \frac{5}{3} \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{5}{3} $$ Ta có $ \log_{\frac{1}{2}}x = \log_{2^{-1}}x = -\log_{2}x $. Phương trình trở thành: $$ \log_{2}(x - 1) + \log_{2}x = \log_{2}2 + \log_{2}(3x - 5) $$ $$ \Leftrightarrow \log_{2}\Big(x(x - 1)\Big) = \log_{2}\Big(2(3x - 5)\Big) $$ $$ \Leftrightarrow x^{2} - x = 6x - 10 \Leftrightarrow x^{2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 2 \ &x = 5 \end{aligned} ight. $$ Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện $ x > \frac{5}{3} $. Vậy phương trình có hai nghiệm.

Cho phương trình $ \log_{2}(x - 1) - \log_{\frac{1}{2}}x = 1 + \log_{2}(3x - 5) $

Cùng dạng: Phương trình lôgarit — đưa về cùng cơ số log a(u) = log a(v)