Cho $ \log_{ 12 } 3=a $ khi đó $ \log_{ 24 } 18=\frac { ma+n } { m-na } $ với $ \left ( { m,n } \right )=1 $. Hãy tính $ m+n $.

Ta có: $ a=\log_{ 12 } 3=\frac { \log_{ 2 } 3 } { \log_{ 2 } 12 }=\frac { \log_{ 2 } 3 } { \log_{ 2 } \left ( { 2 ^ { 2 } .3 } \right ) }=\frac { \log_{ 2 } 3 } { \log_{ 2 } \left ( { 2 ^ { 2 } } \right )+\log_{ 2 } 3 }=\frac { \log_{ 2 } 3 } { 2+\log_{ 2 } 3 }⇒\log_{ 2 } 3=\frac { 2a } { 1-a } $ $ \log_{ 24 } 18=\frac { \log_{ 2 } 18 } { \log_{ 2 } 24 }=\frac { \log_{ 2 } \left ( { 2.3 ^ { 2 } } \right ) } { \log_{ 2 } \left ( { 2 ^ { 2 } .3 } \right ) }=\frac { 1+2\log_{ 2 } 3 } { 3+\log_{ 2 } 3 }=\frac { 1+2.\frac { 2a } { 1-a } } { 3+\frac { 2a } { 1-a } }=\frac { 3a+1 } { 3-a } $. Vậy $ m=3,n=1⇒m+n=4 $.