Một con tàu $T$ rời cảng $C$ và chuyển động theo phương tạo với bờ biển một góc $60^\circ$. Trên bờ biển có hai đài quan sát $A$ và $B$ nằm về hai phía của cảng $C$ và lần lượt cách cảng một khoảng là $2\text{ km}$ và $3\text{ km}$ (như hình vẽ). Tính khoảng cách (đơn vị km) từ tàu $T$ đến cảng $C$ sao cho khoảng cách từ tàu $T$ đến hai đài quan sát $A$ và $B$ bằng nhau?

Gọi khoảng cách từ tàu $T$ đến cảng $C$ là $TC = x$ (với $x > 0$). Con tàu $T$ rời cảng $C$ và chuyển động theo phương tạo với bờ biển hướng về phía đài quan sát $B$ một góc $60^\circ$ nên $\widehat{TCB} = 60^\circ$. Áp dụng định lý cosin vào tam giác $TCB$, ta được: $TB = \sqrt{TC^2 + BC^2 - 2 \cdot TC \cdot BC \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{x^2 - 3x + 9}$. Vì hai đài quan sát $A$ và $B$ nằm về hai phía của cảng $C$ nên ba điểm $A, C, B$ thẳng hàng. Suy ra $\widehat{TCA} + \widehat{TCB} = 180^\circ$, do đó $\widehat{TCA} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Áp dụng định lý cosin vào tam giác $TCA$, ta được: $TA = \sqrt{TC^2 + AC^2 - 2 \cdot TC \cdot AC \cdot \cos 120^\circ} = \sqrt{x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{x^2 + 2x + 4}$. Do khoảng cách từ tàu $T$ đến hai đài quan sát $A$ và $B$ bằng nhau nên: $TB = TA \Leftrightarrow \sqrt{x^2 - 3x + 9} = \sqrt{x^2 + 2x + 4}$. Bình phương hai vế của phương trình ta được: $x^2 - 3x + 9 = x^2 + 2x + 4 \Leftrightarrow 5x = 5 \Leftrightarrow x = 1$. Thử lại: thay $x = 1$ vào phương trình ban đầu ta được $\sqrt{7} = \sqrt{7}$ (thỏa mãn). Vậy khi khoảng cách từ tàu $T$ đến hai đài quan sát bằng nhau thì tàu $T$ cách cảng $C$ một khoảng là $1\text{ km}$.