Đúng/Sai · Câu 19
Cho parabol $(P): y=f(x)$ và đường thẳng $d: y=ax+b$ cắt nhau tại hai điểm $A$, $B$ như hình vẽ. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ có diện tích $S=\frac{125}{6}$.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
Lời giải
a) Đúng. Vì đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(2; 5)$, $B(7; 10)$ nên phương trình đường thẳng $d: y=x+3$.
Gọi phương trình của parabol: $y=ax^{2}+bx+c$.
Vì parabol đi qua các điểm $A(2; 5)$, $B(7; 10)$ nên ta có hệ phương trình:
$$
\begin{cases} 4a+2b+c=5 \quad (1) \\ 49a+7b+c=10 \quad (2) \end{cases}
$$
Mặt khác diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol có diện tích bằng $S=\frac{125}{6}$ nên ta có:
$S=\int_{2}^{7}\left[ (x+3)-(ax^{2}+bx+c) \right]dx=\frac{125}{6}$
$\Leftrightarrow \frac{335}{3}a+\frac{45}{2}b+5c=\frac{50}{3} \quad (3)$
Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $a=1, b=-8, c=17 \Rightarrow (P): y=x^{2}-8x+17$.
Suy ra $\int_{2}^{7} f(x)\,dx = \int_{2}^{7} (x^{2}-8x+17)\,dx = \frac{50}{3}$.
b) Sai. Phương trình đường thẳng $d$ là $y=x-8$.
c) Đúng. Ta có $f'(x)=2x-8 \Rightarrow \int_{2}^{7} f'(x)\,dx = \int_{2}^{7} (2x-8)\,dx = 5$.
d) Đúng. $\int_{2}^{7}(2x-3)f'(x)\,dx = \int_{2}^{7}(2x-3)(2x-8)\,dx = \int_{2}^{7}(4x^{2}-22x+24)\,dx = \frac{215}{3}$.