Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ là hàm đa thức có đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right ) $ như hình vẽ dưới đây. Biết $ f\left ( { -1 } \right )=-\frac { 35 } { 3 } $, diện tích hình phẳng $ \left ( { A } \right ),\,\,\left ( { B } \right ) $ lần lượt bằng $ \frac { 64 } { 3 };\,\,63 $.

a) Sai. Ta có $ \int _{ -1 }^{ 4 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x=\int _{ -1 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x+\int _{ 1 }^{ 4 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x=\frac { 64 } { 3 }-63=-\frac { 125 } { 3 } $. b) Đúng. Ta có $ f\left ( { 1 } \right )-f\left ( { -1 } \right )=\frac { 64 } { 3 }⇔f\left ( { 1 } \right )=\frac { 64 } { 3 }+f\left ( { -1 } \right )=\frac { 64 } { 3 }-\frac { 35 } { 3 }=\frac { 29 } { 3 } $. c) Sai. Ta có $ y=f'\left ( { x } \right ) $ là hàm bậc ba có hệ số $ a>0 $ và phương trình $ f'\left ( { x } \right )=0 $ có ba nghiệm phân biệt là $ -1;\,1;\,4 $ nên $ f'\left ( { x } \right ) $ có dạng $ f'\left ( { x } \right )=a\left ( { x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -x+4 } \right ) $. $ \int _{ -1 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x=\frac { 64 } { 3 }⇔\int _{ -1 }^{ 1 } { a\left ( { x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -x+4 } \right ){ \rm{ d } } }x=\frac { 64 } { 3 } $ $ ⇔\left. { a\left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 4 } { 3 }x ^ { 3 } -\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+4x } \right ) } \right|_{ -1 }^{ 1 }=\frac { 64 } { 3 }⇔a\left ( { \frac { 1 } { 4 }-\frac { 4 } { 3 }-\frac { 1 } { 2 }+4 } \right )-a\left ( { \frac { 1 } { 4 }+\frac { 4 } { 3 }-\frac { 1 } { 2 }-4 } \right )=\frac { 64 } { 3 } $ $ ⇔a=4 $. $ f'\left ( { x } \right )=4x ^ { 3 } -16x ^ { 2 } -4x+16⇒f\left ( { x } \right )=x ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +16x+C $ Theo đề bài $ f\left ( { -1 } \right )=-\frac { 35 } { 3 }⇔1+\frac { 16 } { 3 }-2-16+C=-\frac { 35 } { 3 }⇒C=0 $ Vậy $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +16x $. d) đúng. Xét phương trình $ f\left ( { x } \right )=g\left ( { x } \right )⇔x ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +16x=-2x ^ { 2 } +16x⇔x ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }x ^ { 3 } =0 $ $ ⇔\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac { 16 } { 3 } \end{array}\right. $ $ S=\int _{ 0 }^{ \frac { 16 } { 3 } } { \left | { x ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }x ^ { 3 } } \right | }{ \rm{ d } }x=\left | { \left | { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }-\frac { 4 } { 3 }x ^ { 4 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { 16 } { 3 } } } \right |=\left | { \frac { \left ( { \frac { 16 } { 3 } } \right ) ^ { 5 } } { 5 }-\frac { 4 } { 3 }\left ( { \frac { 16 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } } \right |=\frac { 262144 } { 1215 }≈215,756\simeq 216 $.