Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $\int_{-1}^{3} \left| f'(x) \right|dx = 32$ và hàm số có bảng biến thiên như hình dưới.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Hàm số đạt cực đại tại $x=3$. Sai. b. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$. Đúng. c. $f(3)=20$. Sai. d. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f'(x)$, trục $Ox$, đường thẳng $x=1, x=3$ bằng 16. Đúng. Lời giải: Lời giải a) Sai. $\int_{a}^{b} f'(x)\,dx = \left. f(x) \right|_{a}^{b} = f(b)-f(a)$. b) Đúng. Trên $(-1; 1)$ ta có $f'(x)>0 \Rightarrow \int_{-1}^{1} \left| f'(x) \right|dx = \int_{-1}^{1} f'(x)\,dx = \left. f(x) \right|_{-1}^{1} = f(1)-f(-1) = 11-(-5) = 16$. c) Sai. Ta có: $\int_{-1}^{3}\left| f'(x) \right|dx = \int_{-1}^{1}\left| f'(x) \right|dx + \int_{1}^{3}\left| f'(x) \right|dx = \int_{-1}^{1} f'(x)\,dx - \int_{1}^{3} f'(x)\,dx$ $$ =f(1)-f(-1)-\left[ f(3)-f(1) \right]=2f(1)-f(-1)-f(3) $$ $$ =2 \cdot 11 - (-5) - f(3) = 27 - f(3) $$ Mặt khác $\int_{-1}^{3}\left| f'(x) \right|dx = 32 \Leftrightarrow 27-f(3)=32 \Leftrightarrow f(3)=-5$. d) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f'(x)$, trục $Ox$, đường thẳng $x=1, x=3$ bằng $\int_{1}^{3}\left| f'(x) \right|dx = -\int_{1}^{3} f'(x)\,dx = -\left. f(x) \right|_{1}^{3} = -\left( f(3)-f(1) \right) = -(-5-11) = 16$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $\int_{-1}^{3} \left| f'(x) \right|dx = 32$ và hàm số có bảng biến thiên như hình dưới.

Cùng dạng: Phân tích đồ thị và lập tích phân để tính diện tích