Một con dốc có dạng hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ (các mặt $AA'C'C, AA'B'B, BCC'B'$ là các hình chữ nhật; $\Delta ABC, \Delta A'B'C'$ là các tam giác vuông) với chiều cao bằng $5$m, độ dốc bằng $30^{\circ}$ so với mặt đất. Biết con dốc rộng 8m. Số đo góc tạo bởi đường thẳng $A'B$ và $B'C'$ bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đứng nên $BC \parallel B'C' \Rightarrow (A'B, B'C') = (A'B, BC)$. Xét $\Delta AA'C$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagoras ta có: $$ A'C = \sqrt{AA'^{2} + AC^{2}} = \sqrt{8^{2} + 5^{2}} = \sqrt{89} \text{ (m)} $$ Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$, theo hệ thức lượng ta có: $$ BC = AC \cdot \cot\widehat{ABC} = 5 \cdot \cot30^{\circ} = 5\sqrt{3} \text{ (m)} $$ $$ AB = \frac{AC}{\sin\widehat{ABC}} = \frac{5}{\sin30^{\circ}} = 10 \text{ (m)} $$ Xét $\Delta AA'B$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagoras ta có: $$ A'B = \sqrt{AA'^{2} + AB^{2}} = \sqrt{8^{2} + 10^{2}} = 2\sqrt{41} \text{ (m)} $$ Xét $\Delta A'BC$, theo định lý cosin ta có: $$ \cos\widehat{A'BC} = \frac{A'B^{2} + BC^{2} - A'C^{2}}{2 \cdot A'B \cdot BC} = \frac{164 + 75 - 89}{2 \cdot 2\sqrt{41} \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{123}}{82} \Rightarrow \widehat{A'BC} \approx 47,5^{\circ} $$ Vậy góc tạo bởi đường thẳng $A'B$ và $B'C'$ có số đo xấp xỉ bằng $47,5^{\circ}$.