Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a,\,SD=\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 2 } $, hình chiếu vuông góc $ H $ của $ S $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là trung điểm của đoạn $ AB. $ Gọi $ M,\,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA,\,AD $. Các mệnh đề sau đâu đúng hay sai?

a) Sai Ta có $ SH⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SH⊥HD. $ $ ⇒SH=\sqrt[] { SD ^ { 2 } -HD ^ { 2 } }=\sqrt[] { SD ^ { 2 } -\left ( { HA ^ { 2 } +DA ^ { 2 } } \right ) }=\sqrt[] { \frac { 17a ^ { 2 } } { 4 }-\left ( { \frac { a ^ { 2 } } { 4 }+a ^ { 2 } } \right ) }=a\sqrt[] { 3 }. $ b) Sai Gọi $ E $ là hình chiếu của điểm $ H $ lên $ BD $. $ HE $là đường trung bình của $ ΔABO $nên $ HE=\frac { AO } { 2 }=\frac { AC } { 4 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 } $. c) Đúng Do$ HN//BD⇒HN//\left ( { SBD } \right ) $ $ ⇒d\left ( { HN,SD } \right )=d\left ( { HN,\left ( { SBD } \right ) } \right )=d\left ( { H,\left ( { SBD } \right ) } \right ){ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $ Kẻ $ HE⊥BD\,\,\,\left ( { E∈BD } \right ), $suy ra: $ \left ( { SHE } \right )⊥\left ( { SBD } \right ) $ và $ \left ( { SHE } \right )∩\left ( { SBD } \right )=SE $ Kẻ $ HF⊥SE\,\,\,\left ( { F∈SE } \right ), $khi đó: $ HF⊥\left ( { SBD } \right ) $ Suy ra: $ d\left ( { H,\,\left ( { SBD } \right ) } \right )=HF{ \rm{ } }\left ( { 2 } \right ) $ Ta có: $ HE=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 }. $ Xét tam giác $ SHE, $ ta có : $ \frac { 1 } { HF ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HE ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 3a ^ { 2 } }+\frac { 8 } { a ^ { 2 } }=\frac { 25 } { 3a ^ { 2 } }⇒HF=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 5 }{ \rm{ } }\left ( { 3 } \right ) $ Từ $ \left ( { 1 } \right ),\left ( { 2 } \right ),\left ( { 3 } \right ) $ suy ra: $ d\left ( { HN,SD } \right )=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 5 }. $ d) Đúng Ta có $ MN//SD⇒MN//\left ( { SBD } \right ) $ $ MH//SB⇒MH//\left ( { SBD } \right ) $ Suy ra $ \left ( { HMN } \right )//\left ( { SBD } \right ) $ $ d\left ( { \left ( { HMN } \right ),\left ( { SBD } \right ) } \right )=d\left ( { H;\left ( { SBD } \right ) } \right )=HF=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 5 } $.