Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật, $ SA⊥(ABCD) $ với $ O $ là giao điểm của hai đường chéo của đáy. Biết rằng $ SA=2a,AB=2a,AD=a. $ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Đúng. Ta có $ SA⊥(ABCD)⇒d\left ( { S,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=SA. $ b) Sai. Ta có $ SD⊂\left ( { SAD } \right ) $ Mà $ BC//\left ( { SAD } \right ) $ $ ⇒d\left ( { BC,SD } \right )=d\left ( { BC,\left ( { SAD } \right ) } \right )=AB=2a. $ c) Đúng. Ta có $ O $ là giao điểm của hai đường chéo của đáy, mà đáy là hình chữ nhật $ ⇒O $ là trung điểm của 2 đường chéo $ AC $ và $ BD $ Trong $ \left ( { ABCD } \right ) $, kẻ $ OI⊥AB $ tại $ I $. Vì $ SA⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SA⊥OI $ $ ⇒OI⊥\left ( { SAB } \right )⇒d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right )=OI=\frac { a } { 2 } $ Trong $ \left ( { SAB } \right ) $, kẻ $ AJ⊥SB $ $ BC⊥AB,SA⊥BC⇒BC⊥\left ( { SAB } \right )⇒BC⊥AJ $ $ ⇒AJ⊥\left ( { SBC } \right )⇒d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )=AJ $ $ AJ=\frac { SA⋅AB } { SB }=\frac { 2a⋅2a } { 2a\sqrt[] { 2 } }=\frac { 2a } { \sqrt[] { 2 } } $ $ ⇒\frac { d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right ) } { d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right ) }=\frac { \frac { a } { 2 } } { \frac { 2a } { \sqrt[] { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 } $. Vậy khoảng cách từ $ O $ đến $ \left ( { SAB } \right ) $ bằng $ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 } $ khoảng cách từ $ A $ đến $ \left ( { SBC } \right ). $ d) Đúng. Vì $ AO∩\left ( { SBC } \right )=\left \{ \begin{array}{l} C \end{array} \right \} $ nên $ \frac { d\left ( { O,\left ( { SBC } \right ) } \right ) } { d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right ) }=\frac { OC } { AC }=\frac { 1 } { 2 } $ $ ⇒d\left ( { O,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 2 }AJ=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 2a } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { a } { \sqrt[] { 2 } }. $