Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh $ 2 $. Lấy $ M,\,N $ lần lượt là trung điểm $ BC,\,CD $. Gọi $ I $ là giao điểm của $ AM,\,BN $. Độ dài $ \overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { IM }+\overset\rightarrow { BM } $ bằng $ \frac { a\sqrt[] { 5 } } { b } $ với $ a,b $ là hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó $ a+b $ bằng.

Ta có $ \tan \widehat { BMI }=\frac { AB } { BM }=\frac { 2 } { 1 }=2 $ và $ \tan \widehat { CBN }=\frac { CN } { BC }=\frac { 1 } { 2 } $ do đó $ \widehat { BIM }=90 ^ { o } ⇒BI⊥AM $ Xét $ ΔABM $ vuông tại $ B $ có $ AB ^ { 2 } =AI.AM⇒AI=\frac { AB ^ { 2 } } { AM }=\frac { 2 ^ { 2 } } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 4\sqrt[] { 5 } } { 5 } $ Ta có $ |\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { IM }+\overset\rightarrow { BM }|=|\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BM }+\overset\rightarrow { MI }|=\left | { \overset\rightarrow { AI } } \right |=AI=\frac { 4\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. Vậy $ a+b=9 $.