Cho tam giác $ABC$ có $AB = a$, $AC = 2a$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $N$ thuộc đoạn $AC$ thỏa mãn $\overrightarrow{AN} = x\overrightarrow{AC}$. Khi đó:

a) SAI. Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. b) SAI. Ta có $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}(AC^2 - AB^2) = \frac{1}{2}(4a^2 - a^2) = \frac{3a^2}{2} \neq 0$. Do đó $AM$ không vuông góc với $BC$. c) ĐÚNG. Ta có $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = x\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. Để $AM \perp BN$ thì $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (x\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 0$ $\Leftrightarrow x\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - AB^2 + xAC^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ $\Leftrightarrow (x - 1)(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) - AB^2 + xAC^2 = 0$. Vì $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos\widehat{A} = a \cdot 2a \cdot \cos 60^\circ = a^2$, $AB^2 = a^2$, $AC^2 = 4a^2$ nên phương trình trở thành $(x - 1)a^2 - a^2 + 4xa^2 = 0 \Leftrightarrow 5xa^2 - 2a^2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}$.