Cho hình vuông $ ABCD $ tâm $ O $, có cạnh $ a $. Biết $ M $ là trung điểm của $ AB,G $ là trọng tâm tam giác $ ADM $. Khi đó:

a) Sai. Độ dài đường chéo hình vuông $ ABCD $ cạnh $ a $ là $ AC=BD=\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { CA }=-\overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { AC }=-\|\overset\rightarrow { AB }\|⋅\|\overset\rightarrow { AC }\|⋅\cos(\overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC }) $ $ =-AB⋅AC⋅\cos \widehat { BAC }=-a⋅a\sqrt[] { 2 }⋅\cos45 ^ { ° } =-a ^ { 2 } $ b) Sai. $ \overset\rightarrow { AM }⋅\overset\rightarrow { AC }=\|\overset\rightarrow { AM }\|⋅\|\overset\rightarrow { AC }\|⋅\cos(\overset\rightarrow { AM },\overset\rightarrow { AC }) \\ =AM⋅AC⋅\cos \widehat { CAM }=\frac { a } { 2 }⋅a\sqrt[] { 2 }⋅\cos45 ^ { ° } =\frac { a ^ { 2 } } { 2 }. $ c) Đúng. $ \overset\rightarrow { AD }⋅\overset\rightarrow { BD }+\overset\rightarrow { OM }⋅\overset\rightarrow { AC }=DA⋅DB⋅\cos \widehat { ADB }-\frac { 1 } { 2 }AD⋅AC⋅\cos \widehat { CAD } $ $ =a⋅a\sqrt[] { 2 }⋅\cos45 ^ { ° } -\frac { 1 } { 2 }a⋅a\sqrt[] { 2 }⋅\cos45 ^ { ° } =a ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } . $ d) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { AC } $ (quy tắc hình bình hành). Do đó: $ (\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD })(\overset\rightarrow { BD }+\overset\rightarrow { BC })=\overset\rightarrow { AC }(\overset\rightarrow { BD }+\overset\rightarrow { BC }) $ (Trong đó $ \overset\rightarrow { AC }⋅\overset\rightarrow { BD }=0 $ vì $ \overset\rightarrow { AC }⊥\overset\rightarrow { BD } $). Mà $ \overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { BC } $ (vì $ ABCD $ là hình vuông) và $ \overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { BC }=0 $ (vì $ AB⊥BC $), nên $ \overset\rightarrow { AC }⋅\overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { BC }+\overset\rightarrow { AD }⋅\overset\rightarrow { BC }=0+\overset\rightarrow { AD } ^ { 2 } =a ^ { 2 } . $ Vậy $ (\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD })(\overset\rightarrow { BD }+\overset\rightarrow { BC })=a ^ { 2 } . $