Cho hình bình hành $ ABCD $ có $ AB=2a,AD=3a,\, \widehat { BAD }=60° $. Điểm $ K $ thuộc $ AD $ thỏa mãn $ \overset\rightarrow { AK }=-2\overset\rightarrow { DK } $.

a) Sai. Ta có $ \overset\rightarrow { AB }=-\overset\rightarrow { BA },\,\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { BC } $. Do đó $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AD }=-\overset\rightarrow { BA }.\overset\rightarrow { BC } $ b) Đúng. $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AD }=\left | { \overset\rightarrow { AB } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { AD } } \right |\cos \widehat { BAD }=2a.3acos \widehat { BAD }=2a.3acos60°=3a ^ { 2 } $ c) Đúng. Từ giả thiết ta có $ AB=AK=2a,\, \widehat { BAK }=60° $ nên $ ΔBAK $ đều Suy ra $ BK=2a,\, \widehat { KBC }=60° $ Do đó, $ \overset\rightarrow { BK }.\overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AD }=2a.3a.\cos60°=3a ^ { 2 } $ d) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { BK }=-\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AD } $; $ \overset\rightarrow { AC }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } $ Khi đó $ \overset\rightarrow { BK }.\overset\rightarrow { AC }=(-\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AD })(\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD })=-AB ^ { 2 } +\frac { 2 } { 3 }AD ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }\overset\rightarrow { AD } $ $ \overset\rightarrow { BK }.\overset\rightarrow { AC }=-4a ^ { 2 } +\frac { 2 } { 3 }.9a ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }2a.3a.\cos60°=a ^ { 2 } $