(Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; -1; 2)$, đường thẳng $d: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P): x + y - 2z + 5 = 0$. Xét đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(P)$ tại hai điểm $M, N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. Biết vectơ $\vec{u} = (1; a; b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Tính $a+b$.

Lời giải Gọi điểm $M(2t-1; t; t+2) \in d$. Vì $A(1; -1; 2)$ là trung điểm của $MN$ nên tọa độ điểm $N$ là: $$ \begin{cases} x_N = 2x_A - x_M = 2(1) - (2t-1) = 3-2t \\ y_N = 2y_A - y_M = 2(-1) - t = -2-t \\ z_N = 2z_A - z_M = 2(2) - (t+2) = 2-t \end{cases} $$ Vì $N \in (P)$ nên ta có: $$ (3-2t) + (-2-t) - 2(2-t) + 5 = 0 \iff -t + 2 = 0 \iff t = 2 $$ Vậy $M(3; 2; 4)$. Vectơ $\vec{AM} = (3-1; 2-(-1); 4-2) = (2; 3; 2)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Ta có $\vec{u} = (1; 1,5; 1)$ là một VTCP của $\Delta$. Vậy $a = 1,5$ và $b = 1$, suy ra $a+b = 2,5$.