(Sở Gia Lai 2025) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh dài $1$ mét. Một đường thẳng $d$ đi qua $D'$ và tâm $I$ của mặt phẳng $(BCC'B')$. Điểm $N \in (ABCD)$ và điểm $M \in (BCC'B')$ sao cho trung điểm $K$ của $MN$ luôn thuộc đường thẳng $d$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ tại $A$; véc tơ đơn vị của trục hoành, trục tung và trục cao tương ứng là $\vec{AD}$, $\vec{AB}$ và $\vec{AA'}$. (xem hình vẽ)

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Lời giải a) Ta có $O \equiv A(0;0;0)$. b) Ta có $D(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $A'(0;0;1)$, $C(1;1;0)$, $C'(1;1;1)$, $D'(1;0;1)$. Vì $I$ là trung điểm của $BC'$ nên tọa độ $I\left(\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}\right) \Rightarrow \vec{ID'} = \left(\frac{1}{2};-1;\frac{1}{2}\right)$. Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u}(1;-2;1)$ và đường thẳng $d$ không đi qua gốc tọa độ $A(0;0;0)$. Phương trình của đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u}(1;-2;1)$ và đi qua điểm $D'(1;0;1)$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-2t \\ z=1+t \end{array} \right.$. c) $M \in (BCC'B')$, mặt phẳng $(BCC'B')$ có phương trình $y=1$. Do đó $M(m;1;n)$, với $m,n \in \mathbb{R}$. d) Ta có $M \in (BCC'B') \Rightarrow M(m;1;n)$, $N \in (ABCD) \Rightarrow N(x;y;0)$. $K$ là trung điểm của $MN$ nên: $$ K\left(\frac{m+x}{2};\frac{y+1}{2};\frac{n}{2}\right) $$ Mặt khác $K \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{m+x}{2}=1+t \\ \frac{y+1}{2}=-2t \\ \frac{n}{2}=1+t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{m+x-2}{2}=t \\ \frac{y+1}{2}=-2t \\ \frac{n}{2}-1=t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2t+2-m \\ y-1=-4t-2 \\ n=2t+2 \end{array} \right.$. (1) Độ dài của đoạn $MN$ ngắn nhất khi $MN \perp d$. $\vec{MN}(x-m;y-1;-n)$, véc tơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}(1;-2;1)$. $\vec{MN} \cdot \vec{u} = 0 \Leftrightarrow x-m-2(y-1)-n=0 \Leftrightarrow x-2y-m-n+2=0 \Leftrightarrow x=2y+m+n-2$. (2) Từ (1) và (2) suy ra $t=\frac{m-2}{4}$. (3) $MN^2 = (x-m)^2+(y-1)^2+n^2 = (2t+2-2m)^2+(4t+2)^2+(2t+2)^2$ $MN^2 = 24t^2+8(4-m)t+4m^2-8m+12$. Xét hàm số $f(t)=24t^2+8(4-m)t+4m^2-8m+12$ (với $m$ là tham số). Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\frac{m-4}{6}$. (4) Từ (3) và (4) suy ra $m=-2$; $t=-1$. Do đó $\min MN = 2\sqrt{5}$.