(Sở Thái Bình 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho điểm $ M\left ( { 3;1;9 } ight ) $, đường thẳng $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=t \ y=-1-t \ z=2+2t \end{array} ight. $ và mặt phẳng $ \left ( { \alpha } ight ):x+y-z+3=0 $.

Question

(Sở Thái Bình 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho điểm $ M\left ( { 3;1;9 } ight ) $, đường thẳng $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=t \ y=-1-t \ z=2+2t \end{array} ight. $ và mặt phẳng $ \left ( { \alpha } ight ):x+y-z+3=0 $.

Beedemy · Accepted Answer

a. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { \alpha } ight ) $ là $ \oversetightarrow { n }=\left ( { 1;1;-1 } ight ) $. Đúng. b. Điểm $ M $ thuộc đường thẳng $ d $. Sai. c. Điểm $ A $ có toạ độ dạng $ A\left ( { t;-1-t;2+2t } ight ) $ với $ t\in \mathbb{R} $ thì $ A $ thuộc đường thẳng $ d $. Đúng. d. Đường thẳng $ Δ $ đi qua điểm $ M $, cắt đường thẳng $ d $ và song song với mặt phẳng $ \left ( { \alpha } ight ) $ có phương trình là $ \frac { x-1 } { 2 }=\frac { y+2 } { 3 }=\frac { z-4 } { 5 } $. Đúng. Lời giải: a) Mệnh đề đúng. b) Thay toạ độ điểm $ M $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được: $ \left \{ \begin{array}{l} 3=t \ 1=-1-t \ 9=2+2t \end{array} ight.⇔\left \{ \begin{array}{l} t=3 \ t=-2 \ t=\frac { 7 } { 2 } \end{array} ight. $ Do hệ không có nghiệm nên điểm $ M $ không thuộc đường thẳng $ d $. Suy ra mệnh đề sai. c) Mệnh đề đúng. d) Gọi $ A $ là giao điểm của hai đường thẳng $ Δ $ và $ d $. Do $ A $ thuộc đường thẳng $ d $ nên $ A\left ( { t;-1-t;2+2t } ight ) $ Đường thẳng $ Δ $ có một vectơ chỉ phương là $ \oversetightarrow { MA }=\left ( { t-3;-t-2;2t-7 } ight ) $ Do đường thẳng $ Δ $ song song với mặt phẳng $ \left ( { \alpha } ight ) $ nên $ \oversetightarrow { MA }⊥\oversetightarrow { n } $ Hay $ \oversetightarrow { MA }⋅\oversetightarrow { n }=0⇔1\left ( { t-3 } ight )+1\left ( { -t-2 } ight )-1\left ( { 2t-7 } ight )=0 $ $ ⇔t-3-t-2-2t+7=0⇔t=1 $ Khi $ t=1 $ thì $ \oversetightarrow { MA }=\left ( { -2;-3;-5 } ight ) $ và $ A\left ( { 1;-2;4 } ight ) $ Vậy đường thẳng $ Δ $ phương trình chính tắc là $ \frac { x-1 } { 2 }=\frac { y+2 } { 3 }=\frac { z-4 } { 5 } $ Suy ra mệnh đề đúng.

(Sở Thái Bình 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho điểm $ M\left ( { 3;1;9 } \right ) $, đường thẳng $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=t \\ y=-1-t \\ z=2+2t \end{array} \right. $ và mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ):x+y-z+3=0 $.

Cùng dạng: Lập phương trình đường thẳng (qua 2 điểm, qua điểm vuông góc/song song mặt phẳng)