(Cụm trường Hải Dương 2025) Trong không gian với hệ trục toạ độ $ Oxyz $ cho hai điểm $ A\left ( { 2;-1;2 } \right ),B\left ( { 1;4;-3 } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x-2y+2z-3=0 $. Đường thẳng $ d $ thay đổi sao cho $ d $ luôn đi qua điểm $ A $ và song song với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Khi khoảng cách từ điểm $ B $ đến đường thẳng $ d $ nhỏ nhất thì đường thẳng $ d $ có một vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { a;1;b } \right ) $. Giá trị của $ 4a+b $ bằng bao nhiêu?

+ Ta thấy: điểm $ A∉\left ( { P } \right ) $ + Gọi $ \left ( { Q } \right ) $ là mặt phẳng qua điểm $ A\left ( { 2;-1;2 } \right ) $, chứa đường thẳng $ d $ và song song với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ khi đó $ \left ( { Q } \right ) $ có phương trình là $ x-2y+2z-8=0 $. Gọi $ H,K $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ B $ lên $ \left ( { Q } \right ) $ và đường thẳng $ d $. Khi đó $ BK $ là khoảng cách từ điểm $ B $ đến đường thẳng $ d $ và $ BK\geq BH $. Vậy khoảng cách từ điểm $ B $ đến đường thẳng $ d $ nhỏ nhất thì đường thẳng $ d $ đi qua điểm $ A $ và $ H $. + Đường thẳng $ BH:\left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=4-2t \\ z=-3+2t \end{array} \right. $. Thay vào phương trình mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ) $: $ x-2y+2z-8=0 $ ta có $ 1+t-2\left ( { 4-2t } \right )+2\left ( { -3+2t } \right )-8=0⇔t=\frac { 7 } { 3 }⇒H\left ( { \frac { 10 } { 3 };-\frac { 2 } { 3 };\frac { 5 } { 3 } } \right ) $. Khi đó $ \overset\rightarrow { AH }=\left ( { \frac { 4 } { 3 };\frac { 1 } { 3 };-\frac { 1 } { 3 } } \right )=\frac { 1 } { 3 }\left ( { 4;1;-1 } \right ) $. Hay $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 4;1;-1 } \right ) $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $. Vậy $ 4a+b=15 $