(Sở Hậu Giang 2025) Trong không gian $ Oxyz $ cho mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x-2y-2z-3=0 $ và đường thẳng $ d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y+1 } { 1 }=\frac { z } { -1 } $.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $: $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 1;-2;-2 } \right ) $. b) Đúng. $ A\left ( { 1;-1;0 } \right )\in d $. c) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=\left ( { 2;1;-1 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { n_{ \left ( { P } \right ) } }=\left ( { 1;-2;-2 } \right ) $. $ \sin \widehat { \left ( { d,\left ( { P } \right ) } \right ) }=\frac { \left | { 2.1+1.\left ( { -2 } \right )+\left ( { -1 } \right ).\left ( { -2 } \right ) } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 9 } $. $ ⇒ \cos ^ { 2 } \widehat { \left ( { d,\left ( { P } \right ) } \right ) }=1-\sin ^ { 2 } \widehat { \left ( { d,\left ( { P } \right ) } \right ) }=1-\left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 9 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 25 } { 27 } $. Suy ra: $ \cos \widehat { \left ( { d,\left ( { P } \right ) } \right ) }=\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 9 } $. d) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=\left ( { 2;1;-1 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { n }_{ (P) } =\left ( { 1;-2;-2 } \right ) $. $ \overset\rightarrow { n }_{ (Q) } =\left[ \overset\rightarrow { u_{ d } };\overset\rightarrow { n_{ \left ( { P } \right ) } } \right]=\left ( { -4;3;-5 } \right ) $. $ A\left ( { 1;-1;0 } \right )\in d⊂\left ( { Q } \right )⇒A\left ( { 1;-1;0 } \right )\in \left ( { Q } \right ) $ Phương trình mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ) $:$ -4\left ( { x-1 } \right )+3\left ( { y+1 } \right )-5z=0 ⇔-4x+3y-5z+7=0 ⇔4x-3y+5z-7=0 $.