Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, $ SA⊥(ABCD) $. Biết góc giữa $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ là $ 60 ^ { 0 } $. Tính số đo của góc phẳng nhị diện $ [S,BD,C] $ (đơn vị độ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Ta có: $ SA⊥(ABCD) $ tại $ A $ và $ SC $ cắt mp $ (ABCD) $ tại $ C $. Suy ra $ AC $ là hình chiếu của $ SC $ trên mp $ (ABCD) $. Khi đó $ (SC,(ABCD))=(SC,AC)= \widehat { SCA }=60 ^ { ° } $. Ta có: $ SA=AC.\tan60 ^ { ° } =a\sqrt[] { 2 }.\sqrt[] { 3 }=\sqrt[] { 6 }a $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BD⊥SA \\ BD⊥AC \\ \end{array} ⇒BD⊥(SAC) \end{array} \right. $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} (SBD)∩(CBD)=BD \\ Trong,(CBD),{ \rm{ } }CO⊥BD⇒[S,BD,C]= \widehat { SOC } \\ Trong,(SBD),{ \rm{ } }SO⊥BD \\ \end{array} \end{array} \right. $. Xét $ ΔSAO $ vuông tại $ A:\tan \widehat { SOA }=\frac { SA } { AO }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } }=2\sqrt[] { 3 }⇒ \widehat { SOA }\simeq 74 ^ { 0 } ⇒ \widehat { SOC }\simeq 106 ^ { 0 } $. Vậy $ [S,BD,C] \simeq 106 ^ { 0 } $.