Trong cửa sổ ở hình bên, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính $D = 100\text{ cm}$, bản lề được gắn ở điểm chính giữa $O$ của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng $d\text{ (cm)}$; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tìm khoảng cách $d$ lớn nhất để góc nhị diện tạo bởi cánh và khung cửa không vượt quá $60^{\circ}$.

Lời giải Gọi $A, B$ lần lượt là tâm nửa đường tròn khung cửa và nửa hình tròn cánh cửa khi cửa mở. Góc nhị diện giữa hai nửa mặt phẳng tương ứng là $\widehat{AOB} = \alpha$, áp dụng định lý côsin cho tam giác $OAB$ ta được: $$ \cos\alpha = \frac{OA^{2} + OB^{2} - AB^{2}}{2 \cdot OA \cdot OB} = \frac{\Big(\frac{D}{2}\Big)^{2} + \Big(\frac{D}{2}\Big)^{2} - d^{2}}{2 \cdot \Big(\frac{D}{2}\Big)^{2}} \geq \frac{\Big(\frac{D}{2}\Big)^{2} + \Big(\frac{D}{2}\Big)^{2} - d_{\max}^{2}}{2 \cdot \Big(\frac{D}{2}\Big)^{2}} = \cos 60^{\circ} $$ Suy ra: $$ d_{\max}^{2} = \frac{D^{2}(1 - \cos 60^{\circ})}{2} = 50^{2} \Rightarrow d_{\max} = 50 \text{ (cm)} $$ Khoảng cách lớn nhất $d$ để góc nhị diện giữa hai nửa mặt phẳng không vượt quá $60^{\circ}$ là $50\text{ cm}$.