Một ngôi nhà có hai mái có dạng là hai hình chữ nhật bằng nhau được lợp bằng ngói (Hình ảnh minh họa bên dưới). Khi ánh nắng chiếu theo phương vuông góc với mặt đất thì người ta đo được hình chiếu của toàn bộ mái nhà dưới mặt đất là một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là $12\text{ m}$ và $6\text{ m}$. Biết rằng góc phẳng nhị diện hợp bởi hai mái nhà bằng $120^{\circ}$. Tính tổng diện tích của mái nhà theo đơn vị $\text{m}^{2}$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải Giả sử hai mái nhà được mô hình hóa là hai hình chữ nhật $ACC'A'$ và $BCC'B'$ tạo với nhau một góc phẳng nhị diện bằng $120^{\circ}$ như hình vẽ. Khi đó có thể coi $ABC.A'B'C'$ là một lăng trụ đứng và hình chữ nhật $ABB'A'$ là hình chiếu vuông góc của mái nhà trên mặt đất. Ta có $AA' = BB' = CC' = 12\text{ m}$, $AB = 6\text{ m}$, $\widehat{ACB} = 120^{\circ}$. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, tam giác $ABC$ cân tại $C \Rightarrow CH \perp AB$, $\widehat{HCB} = 60^{\circ}$. Do đó: $$ CB = \frac{BH}{\sin\widehat{HCB}} = \frac{3}{\sin 60^{\circ}} = 2\sqrt{3} \text{ (m)} $$ Tổng diện tích hai mái là: $$ S = 2S_{BCC'B'} = 2 \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} \approx 83,1 \text{ (m}^{2}\text{)} $$